Question

已知函数y=f（x）（x≠0）对于任意的x，y∈R且x，y≠0满足f（xy）=f（x）+f（y）．

（Ⅰ）求f（1），f（﹣1）的值；

（Ⅱ）判断函数y=f（x），（x≠0）的奇偶性；

（Ⅲ）若函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数，解不等式f（x）+f（x﹣5）≤0．

Answer

（Ⅰ）,；（Ⅱ）为偶函数；（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）赋值法：在所给等式中，令x=y=1，可求得f（1），令x=y=-1可求得f（-1）；

（Ⅱ）在所给等式中令y=-1，可得f（-x）与f（x）的关系，利用奇偶性的定义即可判断；

（Ⅲ）由题意不等式 可化为，根据单调性即可去掉符号“f”，转化为具体不等式即可解得．

试题解析：【解析】
（Ⅰ）∵对于任意的x，y∈R且x，y≠0满足，

∴令，得到：，

∴，

令，得到：，

∴；

证明：（Ⅱ）由题意可知，令y=﹣1，得，

∵f（﹣1）=0，∴f（﹣x）=f（x），

∴y=f（x）为偶函数；

【解析】
（Ⅲ）由（Ⅱ）函数f（x）是定义在非零实数集上的偶函数．

∴不等式,可化为f≤f（1），f（|x（x﹣5）|）≤f（1），

∴﹣1≤x（x﹣5）≤1，即：﹣6≤x（x﹣5）≤6且x≠0，x﹣5≠0，

故不等式的解集为：．

考点：函数单调性的性质；函数奇偶性的判断；抽象不等式的解法.