Question

已知函数为奇函数.

（1）求m的值，并求f (x)的定义域；

（2）判断函数的单调性，不需要证明；

（3）若对于任意,是否存在实数,使得不等式.若存在,求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由.

Answer

（1）；（2）在定义域内单调递增；（3） ．

【解析】

试题分析：(1)根据函数奇偶性的条件，建立方程，解之即可求出m的值；(2)根据函数单调性的定义即可判断函数的单调性；(3)利用函数的单调性，将已知不等式转化为三角不等式，再注意，且为恒成立，利用换元法将不等式转化为二次不等式，最后分离参数，将不等式的恒成立转化为求函数的最值，而得到结论.

试题解析：（1）∵函数为奇函数，在定义域内恒成立

即在定义域内恒成立，

，

故函数的定义域是.

（2），任取

设，

∵，，∴

即在定义域内单调递增

（3）假设存在实数,使得不等式

由（1），（2）知: 对于任意

,

当θ=0时成立；

当时，令sinθ=t,

即

考点：1、对数函数；2、函数奇偶性；3、函数的恒成立．