Question

已知，函数.

（1）如果时，恒成立，求的取值范围；

（2）当时，求证：.

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）问题转化为得，令，求导利用单调性求得函数的的最大值，从而求得的取值范围；（2）要证，只需证 ，即证，求导利用函数的单调性求得，从而证得.

试题解析：（1），.

令，递减,,

有取值范围是.

（2）证明：当时，

的定义域.

要证，只需证又，

只需证 ，即证，

递增，，，

必有，使，即，即

且在上，；在上，，

,

，即.

考点：1、利用导数求函数的最值；2、导数在研究函数中的应用.

【方法点睛】本题考查导数在研究函数单调性和最值中的应用，意在考查考生的化归与转化思想和抽象概括能力与推理论证能力及运算求解能力，属难题.第一问中属于恒成立问题，将问题转化为，令，求导利用函数的单调性求得函数的的最大值，大于或等于的最大值，从而求得的取值范围，第二问中利用分析法将问题转化为，即证，求导利用函数的单调性求得，从而证得.注意等价转换思想的应用，利用函数的求导利用单调性求最值解决问题.