Question

设数列的前项和为，且方程有一根为

（1）求、；

（2）求数列的通项公式.

Answer

（1），；（2）.

【解析】

试题分析：（1）分别取，根据方程有一根，，即可求得、；（2）由题设得，，即即当时，，代入上式得，通过计算猜想再用数学归纳法证明这个结论，进而利用当时，，时，，适合上式，即可求得的通项公式．

试题解析：（1）时，有一根，

于是，解得.

时，有一根，

于是，解得.

（2）由题设，得，

即①

当时，，代入①得.②

由于（1）知.

由②可，由此猜想,

下面用数学归纳法证明这个结论.

（ⅰ）时，已知结论成立.

（ⅱ）假设时结论成立，即，当时，由②得，

即，故时结论也成立.

综上，由（ⅰ）、（ⅱ）可知，对所有正整数都成立，于是当时，，

又因为时，，所以的通项公式为.

考点：1、数列的通项公式；2、数列的前项和公式；3、数学归纳法.

【易错点睛】本题考查数列的通项公式、数列的前项和公式、数学归纳法，意在考查考生的推理论证能力及运算求解能力，属中档题.利用代入即可求得、；由题设得，，即即当时，，此时一定要注意条件，否则容易出错；代入猜想得后利用数学归纳法证明，证明时第二步一定要用到假设，否则容易出错.