Question

在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）设是曲线上的动点，点在轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）运用抛物线的定义，可得轨迹为抛物线，进而得到方程；（2）设，求得直线的方程，运用直线与圆相切的条件：，求得的关系，求得的面积关于的函数，结合基本不等式，即可得到最小值.

试题解析：（1） .

（2）设，直线的方程为，

又圆心到的距离为，，整理得：，

同理可得：，所以，可知 是方程的两根，所以：，依题意，即，则，因为，所以，，所以，所以，当时上式取得等号，所以面积最小值为．

考点：1、抛物线的定义及标准方程；2、三角形面积公式及基本不等式求最值.

【方法点睛】本题主要考查抛物线的定义及标准方程、三角形面积公式及基本不等式求最值，属于难题. 解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求面积最大值的.