Question

已知函数，当时，

（1）求函数的最值；

（2）若，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1） ①当时，，令，利用导数得到的单调性即可证明，②当时，，令，利用导数得出的单调性即可证明；（2）利用（1）的结论得到，于是

.再令，通过多次求导得出其单调性即可,

求出的取值范围.

试题解析：（1） ，

，.

恒成立，在单调递增，

，，

（2）令

，

，

要使恒成立，则，

下面证明充分性：

由（1）知：，

令，，

在恒成立，

在单调递减，，在单调递减，

，，．

考点：1、用导数求函数的最值；2、不等式恒成立问题.

【方法点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立（即可）或恒成立（即可）；②数形结合；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.本题（2）是利用方法③求得的范围的.