Question

已知椭圆，直线与椭圆有唯一公共点，当点的坐标为时， 的方程为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线的斜率为在椭圆上移动时，作于（为坐标原点），当时，求的值．

Answer

（1） ；（2）.

【解析】

试题分析：（1）将点坐标代入椭圆方程，同时联立直线与椭圆方程， 根据判别式为零在关于列出方程，解方程组即可（2） 通过设直线并与椭圆方程联立，利用，进而可得、关于的表达式，利用化简解方程即得结论.

试题解析：【解析】
（1）由题意可得

将代入椭圆的方程得，

由得，

联立解得，

于是椭圆的方程为．

（2）设直线，

将直线的方程代入椭圆得，

令，得，且，

所以．①

又，②

① ②与联立整理得，

解得．

考点：1、待定系数法求椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系.

【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系 ，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.