Question

已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1） 当时，增区间为，当时，增区间为，减区间为；（2）.

【解析】

试题分析：（1）对函数求导来利用，得出函数的单调区间，这里注意对的讨论；（2）要让恒成立，应猜想函数在上单调递增或递减，而或恒成立；所以下面要做的是看，或恒成立，然后再看在上单调性.

试题解析：（1），则．

当时，对，有，所以函数在区间上单调递增；

当时，由，得，由，得，

此时函数的单调递增区间为，单调递减区间为 ，

综上，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，函数的单调递增区间为，

单调递减区间为．

（2）易知当时，，故当．

先分析证明：．

要证，只需证，即证，

构造函数，则，

故函数在上单调递增，所以，则成立．

当时，由（1）知，在上单调递增，则在上恒成立；

当是地，由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减．

故当时，，所以，则不满足题意．

所以满足题意的实数的取值范围是

考点：1、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值；2、不等式的恒成立问题.

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立问题，属于难题．利用导数研究函数的单调性一般的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间.