Question

一个圆柱形圆木的底面半径为，长为将此圆木沿轴所在的平面剖

  成两部分，现要把其中一个部分加工成四棱柱大梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，  其中为圆心，在半圆上）, 设，木梁的体积（单位：）.

（1）求关于的函数表达式；

（2）求的值，使体积最大.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据圆的性质和三角函数的定义可得出；（2）对函数求导，得到增、减区间，进而求出极值，最后可以得到最大值时的.

试题解析：（1）梯形的面积.

体积.

（2）.

令得或，，

当时，为增函数；

当时，为减函数；

当时，体积最大.

考点：1、数学建模能力及三角函数求导法则；2、利用导数研究函数的单调性、求函数的最值.

【方法点睛】本题主要考查数学建模能力以及利用导数研究函数的单调性、求函数的最值，属于难题.利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值.