Question

若函数对任意，都有.  则称函数是“以为界的类斜率函数”.

（1）试判断函数是否为“以为界的类斜率函数”；

（2）若实数，且函数是“以为界的类斜率函数”，求实数的取值范围.

Answer

（1）是以为界的类斜率函数；（2）.

【解析】

试题分析：（1）函数符合对任意，都有这一性质，可判定是“以为界的类斜率函数”；（2）函数是“以为界的类斜率函数可得到实数的取值范围.在上是减函数，进而恒成立，即可得到实数的取值范围.

试题解析：（1）对任意，,

“是以为界的类斜率函数”.

（2）又，在上是增函数，不妨设，

则，

，即.

设，则等价于函数

在上是减函数，即，恒成立.

即，，又在上单调递减，

而，又，.

考点：1、利用导数研究函数的单调性、求函数的最值；2、不等式恒成立问题求参数范围.

【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立（即可）或恒成（即可）；②数形结合；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.本题（2）是利用方法①求得的范围的.