Question

新课程改革后，我校开设了甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知学生小张只选修甲的概率为，只选修甲和乙的概率是，至少选修一门课程的概率是，用表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．

（I）求学生小张选修甲的概率；

（II）记“函数为上的偶函数”为事件，求事件的概率；

（III）求的分布列和数学期望．

Answer

（I）；（II）；（III）分布列见解析，．

【解析】

试题分析：（I）分别设出小张选修甲、乙、丙的概率，根据题意列方程组即可求得小张选修甲的概率；（2）若函数为上的偶函数，则，表示小张选修三门功课或三门功课都没选，由相互独立事件的概率公式即可求得事件的概率；（III）由题意可知，，根据取各个值的意义分别求出概率，根据数学期望的公式即可求得的分布列和数学期望．

试题解析：（I）设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为、、，

依题意得，解得，

所以学生小张选修甲的概率为．

（II）若函数为上的偶函数，则，

若时，表示小张选修三门功课或三门功课都没选，

，

事件的概率为．

（III）依题意知，，

则的分布列为

的数学期望为．

考点：相互独立事件的概率公式及离散型随机变量的分布列.