Question

在等腰梯形中，，，，是的中点，将梯形绕旋转，得到（如图）．

（I）求证：；

（II）求二面角的余弦值．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（I）由题意容易证明四边形是平行四边形，．又为等腰梯形，，四边形是菱形，可证得，根据面面垂直的性质定理可证得平面，从而证得；（II）易证平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面的法向量和平面的法向量，根据向量的夹角公式求得二面角的余弦值.

试题解析：（I）证明：，是的中点，．又，四边形是平行四边形，．又为等腰梯形，，，四边形是菱形，，，即．

平面平面，平面平面，平面．

又平面，．

（II）【解析】
平面，同理平面．

如图建立空间直角坐标系，

设，则，，，，则，．设平面的法向量为，．

设平面的法向量为，，

设二面角的平面角为，，

二面角的余弦值为．

考点：空间中垂直关系的证明及空间向量的应用.