Question

已知椭圆（）经过点，且其离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点．设直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点．

（I）求椭圆的标准方程；

（II）当时，求的面积的最大值；

（III）以线段，为邻边作平行四边形，若点在椭圆上，且满足，求实数的取值范围．

Answer

（I）；（II）；（III）且．

【解析】

试题分析：（I）根据离心率为可得，把点代入椭圆方程结合即可求得椭圆方程；（II）先验证轴时，不合题意，整理直线与椭圆方程构成的方程组，利用韦达定理求出弦的长，利用点到直线的距离公式求出点到的距离，从而表示出的面积，通过换元利用基本不等式即可求得其最大值；（III）由向量加法的几何意义可知即为，由此可得坐标与坐标间的关系，整理直线与椭圆方程构成的方程组，写出韦达定理即坐标间的关系，根据点在椭圆上，把其坐标代入椭圆方程即得的关系式，利用方程有解即可求得的范围.

试题解析：（I）由题意得：，，．又椭圆经过点，则，解得，所以，椭圆的标准方程为．

（II）当时，即直线，依题意知若轴时，不存在，所以不合题意．

设点，的坐标分别为，，由得，

，得，，，

所以．

又点到直线的距离为，

的面积．

令（），得，则，

当且仅当，即时等号成立，此时且满足，

所以的最大值为．

（III）由得，，，

可得．

由向量加法得， ，．

①当时，点，关于原点对称，则，此时不构成平行四边形，舍去；

②当时，点，不关于原点对称，设点，则由得

（），即．

由点在椭圆上，得，化简得．

，．①

又，得，②

联立①、②得，，，即且．

综上：且．

考点：椭圆方程及直线与椭圆位置关系的综合应用.

【方法点睛】本题主要考查了椭圆的方程、直线与椭圆位置关系的综合应用，属于难题.求椭圆方程最常用的方法是待定系数法，根据题目条件建立待定系数的方程组，解方程组即可；最值问题通常是设而不解，根据韦达定理和判别式表示出要求最值的量，利用基本不等式或函数的知识来求出最值；本题解答的难点是第三问，根据向量加法的坐标运算和韦达定理求出的坐标，代入椭圆方程构造参数间的关系式，利用方程有解求出参数的范围.