Question

设函数，．

（I）若在上的最大值为，求实数的值；

（II）若是定义域上的单调函数，求实数的取值范围；

（III）在（I）的条件下，当时，令，试证明（）恒成立．

Answer

（I）；（II）；（III）证明见解析.

【解析】

试题分析：（I）通过求导得到函数在上的单调性得到最值点，求出的值；（II）对函数求导得，根据定义域可知，所以必有在在上恒成立，分离参数得，通过配方法求出其最大值，即得实数的取值范围；（III）由（I）知，当时，，利用导数研究其单调性可知，即，令，整理即得所证.

试题解析：（I）【解析】
因为，所以．令，得或．

又在上递增，在上递减，所以．

（II）【解析】
因为，又函数在定义域上是单调函数，所以或在上恒成立．若在上恒成立，即函数是定义域上的单调递增函数，则在上恒成立，由此可得．

若在上恒成立，即函数是定义域上的单调递减函数，则在上恒成立，因为在上没有最小值，

所以不存在实数使在上恒成立．

综上所述，实数的取值范围是．

（III）证明：在（I）的条件下，当时，，

则，显然当时，，所以在上单调递增，所以，即在上恒成立．

令（），

则有，即（）恒成立．

考点：利用导数研究函数的单调性、在闭区间上的最值及函数的恒成立等.

【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、在闭区间上的最值及函数的恒成立及不等式的证明，考查了函数与方程的思想及转化的数学思想，属于难题.当明确函数在某个区间上单调时，通常转化为导数的符号非正或非负恒成立，进一步转化为求函数的最值问题，如果能分离参数，通过分离参数求最值得到参数的范围，如果不能分离参数可直接求最值来解决；证明不等式也是函数、导数中的常见题型，通常根据前面的解答和要证明不等式的形式构造合理的函数，通过研究其单调性、最值，利用赋值法或放缩等技巧得到要证明的不等式.