选修4-1：几何证明选讲
如图，
交圆于
，
两点，
切圆于
，
为
上一点且
，连接
并延长交圆于点
，作弦
垂直
，垂足为
．
（I）求证：
为圆的直径；
（II）若
，求证：
．
设函数
，
．
（I）若
在
上的最大值为
，求实数
的值；
（II）若
是定义域上的单调函数，求实数
的取值范围；
（III）在（I）的条件下，当
时，令
，试证明
（
）恒成立．
已知椭圆
（
）经过点
，且其离心率为
，
、
分别为椭圆
的左、右焦点．设直线
与椭圆
相交于
，
两点，
为坐标原点．
（I）求椭圆
的标准方程；
（II）当
时，求
的面积的最大值；
（III）以线段
，
为邻边作平行四边形
，若点
在椭圆
上，且满足
，求实数
的取值范围．
在等腰梯形
中，
，
，
，
是
的中点，将梯形
绕
旋转
，得到
（如图）．
（I）求证：
；
（II）求二面角
的余弦值．
新课程改革后，我校开设了甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知学生小张只选修甲的概率为
，只选修甲和乙的概率是
，至少选修一门课程的概率是
，用
表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．
（I）求学生小张选修甲的概率；
（II）记“函数
为
上的偶函数”为事件
，求事件
的概率；
（III）求
的分布列和数学期望．
在
中，
，
，
分别为角
，
，
的对边长，且
．
（I）求角
的大小；
（II）若
，
，试求
的面积．
