Question

选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线的参数方程为（为参数），当时，曲线上对应的点为．以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（I）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（II）设曲线与的公共点为，，求的值．

Answer

（I）的普通方程为，的直角坐标方程为；（II）.

【解析】

试题分析：（I）消去参数即得曲线的普通方程，根据二倍角公式及，消去得到曲线的直角坐标方程；（II）易求曲线的参数方程为，代入曲线的直角坐标方程得到关于的一元二次方程，根据韦达定理即可求得的值.

试题解析：（I）因为曲线的参数方程为（为参数），

所以曲线的普通方程为．

又曲线的极坐标方程为，

所以曲线的直角坐标方程为．

（II）当时，，，所以点．

由（I）知曲线是经过点的直线，设它的倾斜角为，则，

所以，，

所以曲线的参数方程为（为参数），

将上式代入，得，

所以．

考点：直线的参数方程与普通方程的互化、抛物线极坐标方程与直角坐标方程的互化及其应用.