Question

已知函数.

（1）当时，求函数的极值；

（2）若，且恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）函数极小值为，无极大值；（2）.

【解析】

试题分析：（1）当时，，通过二次求导可知函数在上单调递增，且，所以当时，当时，

因此函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以的极小值点为，无极大值点；（2）对函数求导可得，分和讨论，显然时，，函数在上单调递增，研究图象可知一定存在某个，使得在区间上函数的图象在函数的图象的下方，即不恒成立，舍去；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，，解得.

试题解析：（1）函数的定义域是,当时，,易知函数的定义域是上单调递增函数，且,所以令，得；令，得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以函数极小值为，无极大值.

（2），则.

①当时，恒成立，所以函数在上单调递增，

且数形结合易知，一定存在某个，使得在区间上，

函数的图象在函数的图象的下方，即满足的图象即.

所以不恒成立，故当时，不符合题意，舍去；

②当时，令，得；，得；

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.

所以函数定义域上的最小值为.

若恒成立，则需满足，即，

即，即.

又因为，所以，解得，所以.

综上，实数的取值范围是.

考点：利用导数研究函数的单调性及极值、最值.

【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值、最值，考查了分类讨论、数相结合的数学思想，属于难题.本题第一问研究函数的极值，通过二次求导得到导函数的最小值说明的单调性，来判断极值点的情况；第二问是本题解答的难点，把恒成立转化为求函数的最小值，按照的符号进行讨论，来判断的单调性，当时，单调递增，通过找反例排除，当时，求出函数零点，判断其单调性，求出其最小值，建立不等式求解.