Question

已知椭圆 的左、右焦点分别为，直线与椭圆的—个交点为，点是椭圆上的任意—点，延长交椭圆于点，连接.

（1）求椭圆的方程；

（2）求的内切圆的最大周长.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由焦点坐标求出，根据椭圆的定义和点求出，根据求出，从而求得椭圆的方程；（2）求的内切圆的最大周长，可先求其最大半径，进一步转化为可先求的最大面积，，根据椭圆的定义求出.显然，当轴时，取最大面积，此时，点，由此可得周长的最大值.

试题解析：（1）由题意，椭圆的半焦距.

因为椭圆过点，所以,解得.

所以椭圆的方程为.

（2）设的内切圆的半径为.

则.

由椭圆的定义，得，

所以.

所以.即.

为此，求的内切圆的最大周长，可先求其最大半径，进一步转化为可先求的最大面积.

显然，当轴时，取最大面积，此时，点，

取最大面积是

故.

故的内切圆的最大周长为

考点：椭圆的定义与标准方程.

【方法点睛】本题主要考查了椭圆定义的应用及标准方程的求法，属于中档题.求椭圆的方程时，对直线和椭圆的交点的应用应首选定义，这样可以减少运算量；第（2）问解答时要注意对问题的转化，把周长的最大值转化为半径的最大值进一步转化为内切圆面积的最大值，利用椭圆的定义集合图形求出两点的坐标，使问题得以解决.