Question

  已知数列的前项和.

（1）求数列的通项公式；

（2）记若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围；

（3）设为数列的前项和，其中，若不等式对任意的恒成立，  试求正实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）利用即可求得通项公式；（2）整理可得通过比较得到中的最大值为，从而求得实数的取值范围；（3）利用公式求出并整理可得，分离参数得恒成立，研究其单调性求出右边式子的最大值，即得实数的取值范围.

试题解析：（1）数列的前项和，

当时，，

，

又时，满足上式，.

（2），

当，时，.

当时，，

时，时，

时，，

中的最大值为.

要使对于一切的正整数恒成立，只需，

.

（3）

将代入,化简得，，化简得，

化为，

整理得，对一切的正整数恒成立，

随的增大而增大，且,.

考点：数列的递推公式，等比数列的通项公式和前项和公式，数列的最值问题.

【方法点睛】本题主要考查了数列的递推公式，等比数列的通项公式和前项和公式，数列的最值的应用，考查了函数的思想和转化与化归的数学思想，属于难题.第一问由前项和公式求通项公式要注意验证是否适合；后面两问都考查了数列的函数特性，通过作差比较或研究函数的单调性，求出数列的最值，从而得到参数的取值范围.