Question

若，其中.

（1）当时，求函数在区间上的最大值；

（2）当时，若，恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）当，时，，求其导数可判函数在上单调递增，进而可得其最大值；（2）分类讨论可得函数在上的最小值为

，分别令，求出的范围，取并集可得的取值范围.

试题解析：（1）当，时，，∵，∴时，，∴函数在上单调递增，故.

（2）①当时，，，∵，∴，∴在上单调递增，故当时，；

②当时，，，

（i）当，即时，在区间上为增函数，

当时，，且此时；

（ii）当，当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数，

故当时，，且此时；

（iii）当，即时，在区间上为减函数，

故当时，.

综上所述，函数在上的最小值为，

由得；由得无解；由的无解；

故所求的取值范围是.XK

考点：利用导数研究函数的单调性、极值、最值和分段函数的最值.

【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值和分段函数的最值，考查了分类讨论的数学思想和不等式的恒成立等，属于难题.分段函数的最值应分别求出各段上的最值进行比较，取最大或最小的作为函数的最值，各段上的最值可通过导数研究其单调性，求出极值和区间端点的函数值进行比较找出最值，本题中给出的函数含有参数，需要讨论导函数的零点是否在相应的区间内来判断其单调性，对于不等式的恒成立转化为求函数的最值，最后得到分段函数不等式，分别求出各段上的解再取并集即可.