Question

如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，.

（1）证明：平面平面；

（2）若与平面所成的角为，，求点到平面的距离.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）在中，由余弦定理得，根据勾股定理可证得，因为，所以平面，由面面垂直的判断定理可得平面平面；（2）取的中点，连接，，可得，根据面面垂直的性质定理可得平面，找到与平面所成的角，求得， ，，根据线面平行可得到平面的距离即为点到平面的距离，在三棱锥中，根据等体积变换即可求得点到平面的距离.

试题解析：（1）在中，由余弦定理得，

因为，，所以，

所以，即，

又因为，，所以平面，

因为平面，所以平面平面．

（2）取的中点，连接，，因为，所以，由（Ⅰ）知平面平面，交线为，所以平面，

由，得，，，因为与平面所成的角为，所以，得，所以，，

因为∥，所以∥平面，故点到平面的距离即为点到平面的距离，

在三棱锥中，有，即，

求得，所以点到平面的距离为．

考点：空间中垂直关系的证明及直线与平面所成的角、点到平面的距离.