Question

已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为.

（1）求双曲线的方程；

（2）若直线与双曲线交于两点，且点在第一象限，过点作轴的垂线，交轴于点，交双曲线于另一点，连结交双曲线于点，求证：.

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）由焦距为，可得，根据渐近线的斜率可得，在再由即可求得双曲线的方程；（2）要证明，只需要证明.设点，，根据题意及双曲线的对称性可得，，的坐标分别为，，，把坐标代入双曲线方程两式相减求得斜率关于参数表达式，再求出直线的斜率关于参数表达式，两式相乘即可得到所证的结论.

试题解析：（1）因为，所以设，，则，由得，

所以，，双曲线的方程为.

（2）设点的坐标为，点的坐标为，则点，，的坐标分别为，，，，

直线的斜率.

由得，

直线的斜率,

直线的斜率, 因为，所以.

考点：双曲线方程及直线与双曲线的位置关系.

【方法点晴】本题主要考查了双曲线方程、直线与双曲线的位置关系、平面上两直线垂直的条件，考查了方程的思想，属于中档题.求双曲线方程只要建立待定系数的方程组，解方程组即可求得方程；证明平面上两直线的位置关系通常研究它们斜率的关系，在直线与圆锥曲线的位置关系中，通常用交点的坐标表示斜率，根据曲线方程建立斜率与参数的关系来达到证明的目的.