Question

已知函数.

（1）若，求函数的极小值；

（2）设，证明：.

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）当时，得其零点，判断在上的单调性，可知有极小值；（2）把函数放缩，构造函数，利用导数研究函数的单调性，并求出其最小值的范围即可证得结论.

试题解析：（1），所以，

观察得，而在上单调递增，所以当时，当时；所以在单调递减，在单调递增，故有极小值．

证明：（2）因为，所以，

令，则，易知在单调递增，

，，所以设，则；当时，，当时，；所以在上单调递减，上单调递增，

所以，又因为，故，

所以，

所以

当且仅当，即时等号成立，而，所以，即，所以，即．

考点：利用导数研究函数的单调性、极值、最值.

【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查了转化的数学思想和函数思想的应用，属于难题.要研究函数的极值，先研究定义域内的单调性，本题（1）中导函数的零点不能直接求出，解答时应分析解析式的特点，利用指数函数的性质找出极值点；解答的难点是（2）证明不等式，可利用函数的单调性进行放缩，转化为研究不含参数的函数的最小值，这是本题的技巧之一，导函数的零点同样不能直接解出，作为证明题，在判断单调性的前提下可以设出极值点，表示出函数值通过基本不等式证明即可，这是本题的另一个技巧.