Question

在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，面， ，分别为的中点.

（1）求证：面；

（2）求二面角的大小的正弦值；

（3）求点到面的距离.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）要证明线面平行，可以通过构造平行四边形先证明线线平行，进而证明线面平行；（2）根据二面角的定义，先作出二面角的平面角，再进行论证，最后进行计算，从而求得其正弦值；（3）可根据等体积法由即可求得点到面的距离.

试题解析：（1）如图所示，取中点，连结，

因为分别为的中点，所以可证得，，

所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，

所以平面；

（2）作于点，作于点，连结，易证平面，所以，又因为，，所以平面，所以，所以即为二面角的平面角，在中，；

（3）因为，所以

考点：1、线面平行；2、二面角；3、点到平面的距离.

【思路点晴】本题是一个关于线面平行、二面角、点到平面的距离方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路是：对于问题（1）要证明线面平行，可以通过构造平行四边形先证明线线平行，进而证明线面平行；对于问题（2）根据二面角的定义，先作出二面角的平面角，再进行论证，最后进行计算，从而求得其正弦值；对于问题（3）可根据等体积法由即可求得点到面的距离.