Question

双曲线的一条渐近线方程是：，且曲线过点.

（1）求双曲线的方程；

（2）设曲线的左、右顶点分别是、，为曲线上任意一点，、分别与直线交于、，求的最小值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由渐近线方程可先设出双曲线的方程，再把点的坐标代入即可求得双曲线的方程；（2）可设出、的斜率，并表示出点、的坐标，进而表示出的长，再结合基本不等式即可求得的最小值.

试题解析：（1）由渐近线方程可知，双曲线的方程为，把代入可得，

所以双曲线方程为.

（2）由双曲线的对称性可知，在右支上时，取最小值.

由上可得，，根据双曲线方程可得，

所以设直线、的斜率分别为，则.

的方程为，令，解得，

的方程为，令，解得，

所以.

当且仅当，即时等号成立.

考点：1、双曲线；2、基本不等式.