Question

已知.

（1）若，求的单调区间；

（2）若有三个零点，求的取值范围.

Answer

（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）.

【解析】

试题分析：（1）首先根据表达式确定函数的定义域，然后再对函数求导，并在定义域中求的解集，进而得到函数的单调区间；（2）首先将问题进行等价转化为方程有三个根，然后再通过构造函数、求导、取极值，即可得到的取值范围.

试题解析：（1）由题意得的定义域为，时，，

则，

令，解得，且有时，，时，，

所以在上单调递减，在上单调递增.

（2），即，令，

则，解得，所以有两个极值，

，所以，即.

考点：1、单调区间；2、极值；3、函数零点.

【思路点晴】本题是一个关于函数的单调区间、函数的极值、函数的零点等方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路是：对问题（1）首先根据表达式确定函数的定义域，然后再对函数求导，并在定义域中求的解集，进而得到函数的单调区间；对问题（2）首先将问题进行等价转化为方程有三个根，然后再通过构造函数、求导、取极值，即可得到的取值范围.