Question

如图，在多面体中，是等边三角形，是等腰直角三角形，，平面平面，平面.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若，求直线与平面所成的角的正弦值.

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）要证明线线垂直，可以先证明线面垂直，进而可得到线线垂直；（Ⅱ）先根据等体积法求出点到平面的距离，再结合直角三角形的边角关系即可求出直线与平面所成的角的正弦值.

试题解析：（Ⅰ）证明：取的中点，连接.因为是等边三角形，所以.

因为是等腰直角三角形，，所以.

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面，因为平面，所以.所以四点共面.

因为，平面，平面，所以平面.

因为平面，所以.

（Ⅱ）在平面内作，垂足为，则.

因为是等边三角形，，所以.

在中，.

因为是等腰直角三角形，，所以.

所以.

由（Ⅰ）知，因为平面，平面，

所以平面.

所以点到平面的距离等于点到平面的距离.

在平面内作，垂足为，因为平面，平面，

所以.因为平面，平面，，

所以平面，且.

在中，，

在中，，

又因为，所以，所以为等腰直角三角形，

所以的面积.

设点到平面的距离为，

由，得，

得.

设直线与平面所成的角为，则.

所以直线与平面所成的角的正弦值为.

考点：1、线线垂直；2、线面角.