Question

已知点是圆上的任意一点，点为圆的圆心，点与点关于原点对称，线段的垂直平分线与线段交于点.

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；

（Ⅱ）设点，若直线轴，且与曲线交于另一点，直线与直线交于点.

（1）证明：点恒在曲线上；

（2）求面积的最大值.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据题目条件并结合椭圆的定义，即可求得动点的轨迹的方程；（Ⅱ）（1）根据（Ⅰ）的结论设出的坐标，并表示出的坐标，进而表示出直线与直线的交于点的坐标，即可证明点恒在曲线上；（2）根据（Ⅰ）及（Ⅱ）（1）的结论，再结合构造函数以及函数的单调性，即可求得面积的最大值.

试题解析：（Ⅰ）由题设得圆的圆心为，半径为，，

又，所以，

由椭圆的定义知，动点的轨迹是以为焦点，以为长轴长的椭圆.

设此椭圆方程为，且焦距为，则

即

所以动点的轨迹的方程为.

（Ⅱ）（1）设，则，且，

所以直线，即①.

直线，即.②

联立①②，解得，

所以点的坐标是.

则

所以点恒在椭圆上.

（2）设直线，，

则由消去，并整理得，.

因为恒成立，

所以.

所以.

令，设，

因为，

所以函数在上单调递增，故.

所以，即当时，的面积取得最大值，且最大值为.

考点：1、椭圆；2、导数在函数（三角形的面积）研究中的应用.

【方法点晴】本题是一个关于椭圆的概念以及直线与其位置关系方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：（Ⅰ）根据题目条件并结合椭圆的定义，即可求得动点的轨迹的方程；（Ⅱ）（1）根据（Ⅰ）的结论设出的坐标，并表示出的坐标，进而表示出直线与直线的交于点的坐标，即可证明点恒在曲线上；（2）根据（Ⅰ）及（Ⅱ）（1）的结论，再结合构造函数以及函数的单调性，即可求得面积的最大值.