Question

已知函数在处取得极值.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若对任意的，都有成立（其中是函数的导函数），求实数的最小值；

（Ⅲ）证明：.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据题目条件以及导数的几何意义，即可求得的值；（Ⅱ）先根据（Ⅰ）的结论确定函数的解析式，再结合构造函数并对其求导以及分类讨论研究函数的单调性，进而可求得在上恒成立时实数的最小值；（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论并结合裂项相消法以及不等式的放缩法即可证得所需结论.

试题解析：（Ⅰ）由题设可求得，，

因为在处取得极值，

所以即

解得.

经检验知，满足题设条件.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，所以，

所以在上恒成立，

即在恒成立.

设，则，

.

设，

1）当，即时，，

所以，在单调递增，

所以，即当时，满足题设条件.

2）当，即时，

设是方程的两个实根，且，

由，可知，由题设可知，当且仅当，即，即，

即时，对任意有，

即在上恒成立，所以在上为增函数，所以.

所以时，也满足题设条件.

综上可知，满足题设的的取值范围为，所以实数的最小值为.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，，

即在区间上恒成立.

令，得.

所以当时，

，

当时，上式显然成立.

所以原不等式得证.

考点：1、导数在函数研究中的应用；2、极端不等式的恒成立为题；3、裂项相消法及不等式的放缩.

【方法点晴】本题是一个关于导数在函数研究中的应用方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：（Ⅰ）根据题目条件以及导数的几何意义，即可求得的值；（Ⅱ）先根据（Ⅰ）的结论确定函数的解析式，再结合构造函数并对其求导以及分类讨论研究函数的单调性，进而可求得在上恒成立时实数的最小值；（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论并结合裂项相消法以及不等式的放缩法即可证得所需结论.