Question

  已知函数.

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）当时，证明：对任意的，.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，函数的单调递增区间为,当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅲ）证明见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）首先求出函数的导数，再根据导数的几何意义，即可求出曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）先求出函数的定义域，再对进行分类讨论，进而可得到函数的单调区间；（Ⅲ）首先将问题进行等价转化，并构造函数，再结合函数的单调性，即可证明所需的结论.

试题解析：（Ⅰ）当时，，.

.

所以曲线在点处的切线方程为，即.

（Ⅱ）由题意知，函数的定义域为，

由已知得.

当时，，函数在上单调递增，

所以函数的单调递增区间为.

当时，由，得，由，得，

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

综上，当时，函数的单调递增区间为；

当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（Ⅲ）证明：当时，不等式可变为，

令，则，可知函数在单调递增，

而，

（注：此处只需说明函数在内存在唯一零点即可，若用数形结合方法可酌情给分）.

所以方程在上存在唯一实根，即.

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

所以.

即在上恒成立，

所以对任意，成立.

考点：1、导数在函数研究中的应用；2、导数的几何意义及单调区间.

【思路点晴】本题是一个关于导数在函数研究中的应用方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：对问题（Ⅰ）首先求出函数的导数，再根据导数的几何意义，即可求出曲线在点处的切线方程；对于问题（Ⅱ）先求出函数的定义域，再对进行分类讨论，进而可得到函数的单调区间；对问题（Ⅲ）首先将问题进行等价转化，并构造函数，再结合函数的单调性，即可证明所需的结论.