Question

  已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，以椭圆的半长轴长为半径的圆与直线相切.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点在椭圆上运动，与关于原点对称，且，当的面积最小时，求直线的方程.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ），或.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据离心率可以得到的一个关系，再由椭圆与直线相切可以得到的一个关系，再联立即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）首先注意到当直线的斜率不存在或者等于零时即为长轴（或短轴）时地特殊情况，并求出其面积；其次当直线的斜率存在并且不为零时，用表示出的面积并结合基本不等式求出此时的面积的最小值，并注意与特殊情况进行比较，最后即可得出的面积最小值，进而可求得当的面积最小时，求直线的方程.

试题解析：（Ⅰ）以原点为圆心，以椭圆的半长轴长为半径的圆的方程为，因为该圆与直线相切，所以有，解得.

又，所以，故.

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）当为长轴（或短轴）时，依题意知，点是椭圆的上顶点或下顶点（左顶点或右顶点），

此时.

当直线的斜率存在且不为时，设直线的斜率为，，，

则直线的方程为，

由，解得

所以

由知，为等腰三角形，为线段的中点，，

所以直线的方程为，

由，解得

.

当且仅当，即时，上式中的等号成立，

此时的面积的最小值为，因为，所以的面积的最小值为，

此时直线的方程为，或.

考点：1、椭圆；2、基本不等式；3、三角形的面积.

【思路点晴】本题是一个关于圆锥曲线方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路是：（Ⅰ）根据离心率可以得到的一个关系，再由椭圆与直线相切可以得到的一个关系，再联立即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）首先注意到当直线的斜率不存在或者等于零时即为长轴（或短轴）时的特殊情况，并求出其面积；其次当直线的斜率存在并且不为零时，用表示出的面积并结合基本不等式求出此时的面积的最小值，并注意与特殊情况进行比较，最后即可得出的面积最小值，进而可求得当的面积最小时，求直线的方程.