Question

设是不相等的两个正数，且，给出下列结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号是（   ）

A．①②            B．①③           C．②③            D．①②③

Answer

D

【解析】

试题分析：因为，设，对求导，可得，则在上是增函数，在上是减函数，其图象如图所示，因为不妨设，因为，则，即，所以结论①正确；再由图可知，所以，所以结论②正确；下面先证明，为此可证明，即证，所以只需证明即可，由于，故只需证明，也就是证明，设，只需证明即可，因为，所以在上是减函数，所以，因此是成立的，从而也是成立的，又因为，而，，所以，因此结论③也是正确的，综上故选D.

考点：1、导数在函数研究中的应用；2、不等式及其证明.

【方法点晴】本题是一个关于导数在函数研究中的应用，以及不等式及其证明方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：首先将关系式进行等价变形，通过构造函数，并研究其单调性，再结合所构造的函数的图像，即可证出结论①②正确；再利用这两个结论即可证明结论③也是正确的，最终可判定选项D是正确的.