Question

设数列各项为正数，且.

（Ⅰ）证明：数列为等比数列；

（Ⅱ）令，数列的前项和为，求使成立时的最小值.

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） .

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据题目条件，并结合构造数列，即可证明数列为等比数列；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，先求出数列的通项公式，然后再求出数列的前项和，并通过解不等式，即可求得使成立时的最小值.

试题解析：（Ⅰ）由已知，，则，因为数列各项为正数，所以，由已知，，得，又，所以，数列是首项为，公比为的等比数列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，则.

不等式，即.所以，于是成立时的最小值为.

考点：1、等比数列；2、数列的前项和.