Question

某商场进行有奖促销活动，顾客购物每满500元，可选择返回50元现金或参加一次抽奖.抽奖规则如下：从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球，摸出红球就可获得100元现金奖励.假设顾客抽奖的结果相互独立.

（Ⅰ）若顾客选择参加一次抽奖，求他获得100元现金奖励的概率；

（Ⅱ）某顾客已购物1500元，作为商场经理，是希望顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加3次抽奖？说明理由；

（Ⅲ）若顾客参加10次抽奖，则最有可能获得多少现金奖励？

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）商场经理希望顾客选择参加次抽奖，理由见解析；（Ⅲ）元.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据题目条件，先求出总的摸法以及符合条件的摸法数，即可求出所求的概率；（Ⅱ）先求出顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值，并将该值与直接返回元现金进行比较，即可知道商场经理的选择；（Ⅲ）求顾客参加次抽奖，哪一种中奖的概率最大，即可知道最有可能获得多少现金奖励.

试题解析：（Ⅰ）因为从装有个球的箱子中任摸一球的结果共有种，摸到红球的结果共有种，所以顾客参加一次抽奖获得元现金奖励的概率是.

（Ⅱ）设表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则.所以.由于顾客每中奖一次可获得元现金奖励，因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为元.由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值元小于直接返现的元，所以商场经理希望顾客参加抽奖.

（Ⅲ）设顾客参加次抽奖摸中红球的次数为.由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则.于是，恰好次中奖的概率为，从而，当时，；当时，，则最大.所以，最有可能获得的现金奖励为元.于是，顾客参加次抽奖，最有可能获得元的现金奖励.

考点：1、古典概型及其应用；2、二项分布及其期望、方差.