Question

设，函数（为自然对数的底数），且函数的图象与函数的图象在处有公共的切线.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）讨论函数的单调性；

（Ⅲ）若在区间内恒成立，求的取值范围.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，在上单调递增，当或时，在和上单调递增，在；（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据题目条件以及导数的几何意义，即可求出的值；（Ⅱ）首先对函数进行求导，再根据（Ⅰ），并注意对参数的讨论，即可求出函数在相应区间上的单调性；（Ⅲ）通过构造函数，结合对函数求导，并注意对参数的讨论，即可求出在区间内恒成立时，的取值范围.

试题解析：（Ⅰ） ,由，得.

（Ⅱ） .

当时，即时，，从而函数在定义域内单调递增.

当时，，

此时，当时，，从而函数单调递增；

当时，，从而函数单调递减；

当时，，从而函数单调递增.

（Ⅲ）令，则，，令，则.当时，，从而单调递减，令，得.

先考虑的情况，此时，.

又当时，单调递减；所以，故当时，单调递增；又因为，故当时，.从而函数在区间单调递减；又因为，所以在区间恒成立.

接下来考虑的情况，此时，，令，则，由零点存在定理，存在使得，当时，由单调递减可知，所以单调递减，又因为，故当时，.从而函数在区间单调递增；又因为，所以当时，.

综上所述，若在区间恒成立，则的取值范围是.

考点：1、导数在函数研究中的应用；2、函数的零点；3、分类与整合、化归与转化等数学思想.

【方法点晴】本题是一个关于导数在函数研究中的应用，以及函数的零点等方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：（Ⅰ）根据题目条件以及导数的几何意义，即可求出的值；（Ⅱ）首先对函数进行求导，再根据（Ⅰ），并注意对参数的讨论，即可求出函数在相应区间上的单调性；（Ⅲ）通过构造函数，结合对函数求导，并注意对参数的讨论，即可求出在区间内恒成立时，的取值范围.