Question

如图，在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面，且,设、分别为、的中点．

（1）求证：//平面；

（2）求证：面平面；

（3） 求二面角的正切值．

Answer

（1）详见解析（2）详见解析（3）

【解析】

试题分析：（1）利用线面平行的判定定理：连接AC，只需证明EF∥PA，利用中位线定理即可得证；（2）利用面面垂直的判定定理：只需证明PA⊥面PDC，进而转化为证明PA⊥PD，PA⊥DC，易证三角形PAD为等腰直角三角形，可得PA⊥PD；由面PAD⊥面ABCD的性质及正方形ABCD的性质可证CD⊥面PAD，得CD⊥PA；

（3）设PD的中点为M，连结EM，MF，则EM⊥PD，由（Ⅱ）可证PD⊥平面EFM，则∠EMF是二面角B-PD-C的平面角，通过解Rt△FEM可得所求二面角的正切值

试题解析：（1）证明：为平行四边形

连结，为中点，为中点∴在中，//

且平面，平面 ∴

（2）证明：面面 ，平面面

又为正方形，且平面

平面 ∴

又是等腰直角三角形，

又，且、面

面 又面

面面

（3）【解析】
设的中点为,连结,,则,由(Ⅱ)知面

面 ，

是二面角的平面角

在中，

故所求二面角的正切值为

考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定