Question

已知椭圆C的两个焦点的坐标分别为，并求且经过点，M,N为椭圆C上关于轴对称的不同两点.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若，试求点M的坐标；

（Ⅲ）若为轴上的两点，且，试判断直线MA,NB的交点P是否在椭圆C上，并证明你的结论.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）、、、（Ⅲ）交点仍在椭圆上

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的长轴长的定义及焦点坐标，计算即得结论；（Ⅱ）通过设M（m，n），N（m，-n），利用计算即得结论；（Ⅲ）通过设M（m，n）、直线MA与直线NB交点为P，分别将点P代入直线MA、NB的方程，利用计算即得结论

试题解析：（Ⅰ）依定义，椭圆的长轴长

所以又

所以所求的椭圆标准方程为

（Ⅱ）设，，

则，

因为，

所以，

即①

因为点在椭圆上，

所以②

由①②解得 ，或

因此，符合条件的点有、、、

（Ⅲ）设，则直线、的方程分别为

③，④

设直线与直线交点为，将其坐标代人③、④并整理，得

⑤ ，⑥

⑤与⑥相乘得 ⑦

又，，代入⑦化简得

因此，直线与直线的交点仍在椭圆上．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题