Question

已知为平面上的动点且，若P到轴的距离比到点的距离小1.

（I）求点P的轨迹C的方程；

（II）设过点的直线交曲线C与A,B两点，问是否存在这样的实数m,使得以线段AB为直径的圆恒过原点.

Answer

（I）（II）存在或

【解析】

试题分析：（I）由题意得：，化简得：．求得P的轨迹方程；（II）分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线AB方程为y=k（x-m），A，B，直线和抛物线联立方程求解．当斜率不存在时，m=0或m=4．成立

试题解析：（I）由题意得：，

化简得：．

所以点的轨迹方程为．

（II）①当斜率存在时，

设直线方程为，，，

由，得，

所以，

所以，

因为以线段为直径的圆恒过原点，

所以，

所以．

即

所以或．

②当斜率不存在时，直线方程为：

则，，

由得：或．

所以存在或，使得以线段为直径的圆恒过原点

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程