Question

△ABC的内角A,B,C的对边分别为,b,c,已知=bcosC+csinB.

（1）求角B.

（2）若b=2,求△ABC面积的最大值.

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把sinB的值代入，得到三角形面积最大即为ac最大，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出ac的最大值，即可得到面积的最大值

试题解析：（1）因为a=bcosC+csinB,所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB,所以sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB,即cosBsinC=sinCsinB,因为sinC≠0,所以tanB=1,解得B=

（2）由余弦定理得:,即,由不等式得,当且仅当a=c时,取等号,所以4≥(2-)ac,解得ac≤4+2,所以△ABC的面积为acsin≤×(4+2)=+1.

所以△ABC面积的最大值为.

考点：余弦定理；正弦定理