Question

如图，互相垂直的两条公路AP、AQ旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园AMN，要求点M在射线AP上，点N在射线AQ上，且直线MN过点C，其中AB＝36米，AD＝20米．记三角形花园AMN的面积为S.

（1）问：DN取何值时，S取得最小值，并求出最小值；

（2）若S不超过1 764平方米，求DN长的取值范围

Answer

（1） 设DN＝20， S的最小值等于1440平方米（2） [8，50]

【解析】

试题分析：（1）由于DC∥AB得出△NDC∽△NAM，从而AN，AM用DN表示，利用三角形的面积公式表示出面积，再利用基本不等式求最值，注意等号何时取得；（2）由S不超过1764平方米，建立不等式，从而可求DN长的取值范围

试题解析：（1）设DN＝x(x>0)米，则AN＝(x＋20)米．

因为，所以

即AM＝.

所以S＝×AM×AN＝

＝18(x＋＋40)≥1440，

当且仅当x＝20时取等号．

所以，S的最小值等于1440平方米．

（2）由S＝≤1 764，

得x2－58x＋400≤0，

解得8≤x≤50.所以，DN长的取值范围是[8，50]．

考点：函数模型的选择与应用