Question

已知点，平面直角坐标系上的一个动点满足．设动点的轨迹为曲线．

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）已知点是曲线上的两个动点，若 (是坐标原点)，试证明：原点到直线的距离是定值．

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）设出动点P（x，y），列出方程，化简求解所求曲线C的轨迹方程即可；（2）由可知三角形为直角三角形，借助于三角形面积公式可将原点到直线的距离用表示，通过求得A,B点坐标将长度代入即可得到距离为定值

试题解析：（1）【解析】
依据题意，动点满足.

又

因此，动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，且 ．

所以，所求曲线的轨迹方程是．

（2）证明：设原点到直线的距离为，且是曲线上满足的两个动点．

1. 若点在坐标轴上，则点也在坐标轴上，有，

即

2. 若点不在坐标轴上，可设．

由 得

设点，同理可得，

于是， ．

利用，得．

综合1和2可知，总有，即原点到直线的距离为定值

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程