Question

如图，已知M为抛物线上一动点，为其对称轴上一点，直线MA与抛物线的另一个交点为N．当A为抛物线的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△OMN的面积为．

（I）求抛物线的标准方程；

（II）记，若t的值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．

Answer

（I）（II）抛物线C对称轴上仅有焦点这一个“稳定点”

【解析】

试题分析：（I）由当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为．可得，解得p即可；（II）将出直线方程，将其与抛物线联立，借助于根与系数的关系将值转化为用表示，由为定值求得对应的的值

试题解析：（I）由题意

，

（II）,设直线为

，

,

因为，所以 ,

所以,仅当,即时,t与m无关,此时A即抛物线C的焦点,即抛物线C对称轴上仅有焦点这一个“稳定点”

考点：抛物线的简单性质