Question

已知函数(其中,且为常数)

（I）若对于任意的,都有成立,求的取值范围;

（II）在（Ⅰ）的条件下,若方程在上有且只有一个实根,求的取值范围.

Answer

（I）（II）或或

【解析】

试题分析：（I）求导，且f（1）=0+a（ln1-1+1）=0，从而讨论以确定函数的单调性，从而解得；（II）化简，从而讨论以确定函数的单调性，从而解得

试题解析：（I）由知

当时,对于恒成立,在上单调递增

,此时命题成立;

当时,在上单调递减,在上单调递增, 当时,有.这与题设矛盾,不合. 故的取值范围是

（II）依题意,设,原题即为若在上有且只有一个零点,求的取值范围.显然函数与的单调性是一致的.

当时,因为函数在区间上递减,上递增,所以在上的最小值为,由于,要使在上有且只有一个零点,需满足或,解得或;

当时,因为函数在上单调递增,且,所以此时在有且只有一个零点

当时,因为函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,又因为,所以当时,总有,

,

所以在上必有零点,又因为在上单调递增,从而当时,在上有且只有一个零点.

综上所述,当或或时,方程在上有且只有一个实根.

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断