Question

三棱柱中，侧棱与底面垂直，，， 分别是，的中点．

（1）求证：平面.

（2）求证：平面.

（3）求三棱锥的体积．

Answer

（1）详见解析（2）详见解析（3）

【解析】

试题分析：（1）连接，，通过M，N是AB，的中点，利用MN∥．证明MN∥平面；

（2）说明四边形是正方形，连接，CM，通过△≌△AMC．说明MN⊥然后证明MN⊥平面；（3）由（2）知MN是三棱锥的高．在直角△MNC中．求出．即可解得

试题解析：（1）连结，，∵是，的中点∴．

又∵平面，∴平面．分

（2）∵三棱柱中，侧棱与底面垂直，

∴四边形是正方形．

∴．∴．连结，．

∴，又中的中点，∴．

∵与相交于点，∴平面．

（3）由（2）知是三棱锥的高．

在直角中，，∴．

又． ．

考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定