Question

已知函数图像上一点处的切线方程为

（1）求的值.

（2）若方程在区间内有两个不等实根，求的取值范围.

（3）令，如果的图像与轴交于两点，的中点为，求证：.

Answer

（1）a＝2,b＝1（2）（3）详见解析

【解析】

试题分析：（1）由切线方程得函数在x=2处的切线斜率为-3，即f′（2）=-3，由函数得其导函数，进而得f′（2），由f′（2）=-3得关于a、b的方程，又切点在函数图象上，也在切线上，当x=2时分别代入两个函数方程，函数值相等，得第二个关于a、b的方程，求解方程组，得a，b的值；

（2）设，求h′（x），令h′（x）＞0，h′（x）＜0，得函数h（x）的单调区间，得出h（x）的图象的大致走向，得出满足题意的不等式组，解得实数m的取值范围；（3）由点A，B在g（x）图象上，把点的坐标代入g（x）的解析式得方程组，两式相减得关于的方程，假设g′（x）=0成立，求导，得关于的方程，由中点坐标公式转化关于的方程，两方程消去，得关于的方程，整理此方程，分子分母同除以，整理方程，右边为0，设，左边得关于t的函数，求此函数的导数，得函数的单调性，得函数值恒小于0，所以方程不成立，所以假设不成立，所以

试题解析：（1）,,.

∴,且.解得a＝2,b＝1. .

（2）,设,

则,令,得x＝1(x＝－1舍去).

当x∈时, , h(x)是增函数；当x∈时, , h(x)是减函数.

则方程在内有两个不等实根的充要条件是

解得.

（3）, .假设结论成立,

则有,①－②,得.

∴.由④得,于是有,∴,

即.⑤ 令, (0＜t＜1),则＞0.

∴在0＜t＜1上是增函数,有,∴⑤式不成立,与假设矛盾.

∴

考点：函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程