Question

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点F与x轴不垂直的直线交椭圆于P，Q两点。

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当直线的斜率为1时，求△POQ的面积；

（Ⅲ）在线段OF上是否存在点，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设椭圆方程为．由两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，由此能够求出a，b，c的值，从而得到所求椭圆方程；（Ⅱ）右焦点F（1，0），直线l的方程为y=x-1．设P，Q，由题设条件得．由此入手可求出

（Ⅲ）假设在线段OF上存在点M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0）．由题意知．由此可知

试题解析：（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为。

因为两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，

所以。

所求椭圆方程为。

（Ⅱ）因为直线过椭圆右焦点，且斜率为1，所以直线的方程为。

设。

由得，解得，

所以。

（Ⅲ）假设在线段OF上存在点，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形。因为直线与x轴不垂直，所以设直线的方程为。

由可得，

因为，

所以。

设的中点为

所以，

因为以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形，

所以MN⊥PQ，，

所以，

整理得，

。

所以，

所以

考点：椭圆的标准方程；直线的斜率；直线与圆锥曲线的综合问题