Question

如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，PA＝PB，且侧面PAB⊥平面ABCD，点E是AB的中点。

（Ⅰ）求证：CD∥平面PAB；

（Ⅱ）求证：PE⊥AD；

（Ⅲ）若CA＝CB，求证：平面PEC⊥平面PAB。

Answer

（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为底面ABCD是菱形，推断出CD∥AB．进而根据线面平行的判定定理推断出CD∥平面PAB；

（Ⅱ）因为PA=PB，点E是棱AB的中点，可知PE⊥AB，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE⊂平面PAB，推断出PE⊥平面ABCD，进而根据线面垂直的性质可知PE⊥AD；（Ⅲ）因为CA=CB，点E是棱AB的中点，进而可知CE⊥AB，（Ⅱ）可得PE⊥AB，进而判断出AB⊥平面PEC，根据面面垂直的判定定理推断出平面PAB⊥平面PEC

试题解析：（Ⅰ）因为底面ABCD是菱形，

所以CD∥AB。

又因为平面PAB

且平面PAB，

所以CD∥平面PAB。

（Ⅱ）因为PA＝PB，点E是棱AB的中点，

所以PE⊥AB，

因为平面PAB⊥平面ABCD，

平面PAB，

所以PE⊥平面ABCD，

因为平面ABCD，

所以PE⊥AD。

（Ⅲ）因为CA＝CB，点E是AB的中点，

所以CE⊥AB。

由（Ⅱ）可得PE⊥AB，

又因为，

所以AB⊥平面PEC，

又因为平面PAB，

所以平面PAB⊥平面PEC。

考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质