Question

已知函数。

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求在上的最小值。

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由函数的导数的几何意义可求得切线的斜率，从而由点斜式得到直线方程；（Ⅱ）由函数导数确定函数的单调性，结合单调区间可确定函数的最值，求解过程中要注意对的讨论

试题解析：。

（Ⅰ）当时，，

所以切线方程为，即。

（Ⅱ）令，解得：。

①，则当时，在上单调递减，

所以，当时，取得最小值，最小值为。

②，则当时，

当x变化时，的变化情况如下表：

所以，当时，取得最小值，

最小值为。

③，则当时，在上单调递增，

所以，当时，取得最小值，

最小值为。

综上，当时，的最小值为；

当时，的最小值为；

当时，的最小值为。

考点：函数导数的几何意义；函数导数与单调性最值