Question

已知抛物线的准线方程是.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）设直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，证明：.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用排趋性的准线方程求出p，即可求解抛物线的方程；（Ⅱ）直线y=k（x-2）（k≠0）与抛物线联立，通过韦达定理求解直线的斜率关系即可证明OM⊥ON

试题解析：（Ⅰ）【解析】
因为抛物线的准线方程为，

所以 ， 解得，

所以 抛物线的方程为.

（Ⅱ）证明：设，.

将代入，

消去整理得 .

所以 .

由，，两式相乘，得 ，

注意到，异号，所以 .

所以直线与直线的斜率之积为，

即 .

考点：直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程