Question

如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，且.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的大小.

Answer

（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，求出相关点的坐标，求出．通过数量积为0，证明;（Ⅱ）求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用斜率的数量积求解二面角的平面角即可

试题解析：（Ⅰ）证明：因为 直三棱柱，

所以 ，.

又 ，

所以 ，，两两互相垂直.

如图，以为原点，建立空间直角坐标系.

则 ，，，，.

由 ，得.

所以 ，.

因为 ，

所以 .

（Ⅱ）【解析】
，.

设平面的一个法向量为，则

所以 取，得.

又平面的一个法向量为，

所以 ，

因为二面角的平面角是锐角，

所以二面角的大小是.

考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定